कक्षा 10 गणित – पाठ 2: बहुपद (Polynomials) – वर्कशीट प्रश्नोत्तर
📘 महत्वपूर्ण प्रश्न एवं उत्तर
1. बहुपद की परिभाषा क्या है?
उत्तर: एक या एक से अधिक चरों वाले ऐसे बीजगणितीय व्यंजक को बहुपद कहते हैं जिसमें घातें पूर्णांक होती हैं।
2. x³ + 2x² - x + 3 में कितनी संज्ञाएँ (Terms) हैं?
उत्तर: इसमें 4 संज्ञाएँ हैं।
3. x² - 4 को गुणनखंड रूप में लिखिए।
उत्तर: (x - 2)(x + 2)
4. x² + 7x + 12 के शून्यक क्या हैं?
उत्तर: शून्यक हैं -3 और -4
5. यदि α और β किसी द्विघात बहुपद के शून्यक हैं, तो α + β किसके बराबर होगा?
उत्तर: α + β = -b/a
6. शून्यक और गुणांक के बीच संबंध बताइए।
उत्तर: यदि ax² + bx + c = 0 के शून्यक α और β हैं, तो
-
α + β = -b/a
-
αβ = c/a
7. यह जाँचिए कि x - 3, x² - 2x - 3 का गुणनखंड है या नहीं।
उत्तर: x² - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)
अतः x - 3 इसका गुणनखंड है।
🔍 गुणनखंड निकालना
8. बहुपदों को गुणनखंडों में लिखिए:
a) x² - 5x + 6 → (x - 2)(x - 3)
b) x² - 16 → (x - 4)(x + 4)
9. p(x) = x² + 2x + 1 के शून्यकों का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर: p(x) = (x + 1)² ⇒ शून्यक: -1, -1 ⇒ गुणनफल: 1
10. यदि x + a, p(x) का गुणनखंड है, तो सिद्ध कीजिए कि p(-a) = 0।
उत्तर: यदि x + a गुणनखंड है, तो x = -a पर p(x) = 0 ⇒ p(-a) = 0
11. x² + 5x + 6 को गुणनखंड में विभाजित कीजिए।
उत्तर: (x + 2)(x + 3)
शून्यक: -2, -3
12. f(x) = x² - 4x + 3 के लिए α + β और αβ ज्ञात कीजिए।
उत्तर: α + β = 4, αβ = 3
13. x² - (a + b)x + ab के शून्यक ज्ञात कीजिए।
उत्तर: शून्यक हैं a और b
14. यदि α और β बहुपद x² - 3x + 2 के शून्यक हैं, तो एक बहुपद बनाइए जिसके शून्यक 1/α और 1/β हों।
उत्तर: नया बहुपद = x² - (1/α + 1/β)x + 1/(αβ)
⇒ α = 1, β = 2 ⇒
⇒ 1/α + 1/β = 1 + 0.5 = 1.5 = 3/2
⇒ αβ = 2
⇒ नया बहुपद: x² - (3/2)x + 1/2
⇒ दोनों पक्षों को 2 से गुणा करें: 2x² - 3x + 1
✍️ बहुपद विभाजन और निर्माण
15. x³ - 6x² + 11x - 6 को x - 2 से विभाजित कीजिए।
उत्तर: x - 2 इसका गुणनखंड है क्योंकि शेषफल 0 आता है।
16. f(x) = x³ - 7x + 6 के शून्यक ज्ञात कीजिए।
उत्तर: शून्यक हैं: 1, 2 और -3
17. यदि p(x) = ax² + bx + c के शून्यक 2 और 3 हैं, तो a, b, c के मान ज्ञात कीजिए।
